共分散行列のコレスキー分解

投稿者: | 2017年6月21日

2$\times$ 2の共分散行列は、

$$
\left[
\begin{array}{cc}
\sigma_X^2&\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y\\
\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y&\sigma_Y^2
\end{array}\right]
=
\left[
\begin{array}{cc}
\sigma_X&0\\
\rho_{XY}\sigma_Y&\sqrt{1-\rho_{XY}^2}\sigma_Y
\end{array}\right]
\left[
\begin{array}{cc}
\sigma_X&\rho_{XY}\sigma_Y\\
0&\sqrt{1-\rho_{XY}^2}\sigma_Y
\end{array}\right]
$$

3$\times$ 3の共分散行列は、

$$
\Sigma=\left[
\begin{array}{cc}
\sigma_X^2&\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y&\rho_{ZX}\sigma_Z\sigma_X\\
\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y&\sigma_Y^2&\rho_{YZ}\sigma_Y\sigma_Z\\
\rho_{ZX}\sigma_Z\sigma_X&\rho_{YZ}\sigma_Y\sigma_Z&\sigma_Z^2\\
\end{array}\right]
$$
$$A=
\left[
\begin{array}{cc}
\sigma_X&0&0\\
\rho_{XY}\sigma_Y&\sqrt{1-\rho_{XY}^2}\sigma_Y&0\\
\rho_{ZX}\sigma_Z&\frac{\rho_{YZ}-\rho_{ZX}\rho_{XY}}{\sqrt{1-\rho_{XY}^2}}\sigma_Z
&\frac{\sqrt{1-\rho_{XY}^2-\rho_{YZ}^2-\rho_{ZX}^2+2\rho_{XY}\rho_{YZ}\rho_{ZX}}}{\sqrt{1-\rho_{XY}^2}}\sigma_Z\\
\end{array}\right]
$$
において、$\Sigma=AA^T$というように、下三角行列とそれの転置行列(上三角行列)の積でかけることがわかっています。一般の$n\times n$では$A$はどのように表現できるのか、悩んでみました。答えが出たら、書いてみます。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です