正規分布にしたがう確率変数の和は、正規分布にしたがう

投稿者: | 2017年6月10日

正規分布にしたがう確率変数の和は、正規分布にしたがう、という命題(再生性)は、よく知られています。
確率密度関数(正規分布)
$$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_X}}\exp\{-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma^2_X}\}\ ,\ f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_Y}}\exp\{-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma^2_Y}\}$$
にしたがう、互いに独立な確率変数$X,Y$について確率変数$Z=X+Y$が正規分布にしたがうことを示してみたいと思います。私の統計学の講義の試験問題によく出しています。ただし、$X,Y$がともに標準正規分布の場合ですが(標準正規分布だと、積分が簡単になります)。

$W=X$として、$X=W$, $Y=Z-W$となる。また、ヤコビアンの絶対値は$1$であるから、
\begin{eqnarray*}
f_{ZW}(z,w)&=&f_{XY}(w,z-w)=f_X(w)f_Y(z-w)\\
&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_X}}\exp\{-\frac{(w-\mu_X)^2}{2\sigma^2_X}\}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_Y}}\exp\{-\frac{(z-w-\mu_Y)^2}{2\sigma^2_Y}\}
\end{eqnarray*}
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\}=1$$
を用いると
\begin{eqnarray*}
f_Z(z)&=&\int_{-\infty}^\infty f_{ZW}(z,w)dw
\\&=&
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y}}
\exp\{-(\frac{1}{2\sigma^2_X}+\frac{1}{2\sigma_Y^2})(w-\mu_X)^2\\&&+
\frac{(w-\mu_X)(z-\mu_X-\mu_Y)}{\sigma^2_Y}-\frac{(z-\mu_X-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}\}dw
\\&=&
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y}}
\exp[-(\frac{1}{2\sigma^2_X}+\frac{1}{2\sigma_Y^2})\{w-\mu_X-\frac{z-\mu_X-\mu_Y}{2\sigma^2_Y(1/2\sigma^2_X+1/2\sigma_Y^2)}\}^2\\&&+
\frac{(z-\mu_X-\mu_Y)^2}{4\sigma^4_Y(1/2\sigma^2_X+1/2\sigma^2_Y)}-\frac{(z-\mu_X-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}]dw\\
&=&
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y}}
\exp[-\{w-\mu_X-\frac{z-\mu_X-\mu_Y}{2\sigma^2_Y(1/2\sigma^2_X+1/2\sigma_Y^2)}\}^2/(2\frac{\sigma^2_X\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2})\\&&-
\frac{(z-\mu_X-\mu_Y)^2}{2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)}]dw\\
&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma^2_X+\sigma_Y^2)}}
\exp[-\frac{(z-\mu_X-\mu_Y)^2}{2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)}]\\&&\cdot
\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi\frac{\sigma_X^2\sigma_Y^2}{\sigma^2_X+\sigma_Y^2})}}
\exp[-\{w-\mu_X-\frac{z-\mu_X-\mu_Y}{2\sigma^2_Y(1/2\sigma^2_X+1/2\sigma_Y^2)}\}^2/(2\frac{\sigma^2_X\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2})]dw
\\&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma^2_X+\sigma_Y^2)}}
\exp[-\frac{(z-\mu_X-\mu_Y)^2}{2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)}]
\end{eqnarray*}
を得る。すなわち、$X+Y$は、平均$\mu_X+\mu_Y$、分散が$\sigma^2_X+\sigma_Y^2$の正規分布にしたがう。

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