条件付確率

投稿者: | 2010年5月28日

一般の確率空間(\omega,{\cal F},P)で、条件付確率Wを定義したらどうなるか。Wikipediaでも、英語版、日本語版ともに高校でやったような特殊ケースしか掲載されていない。拙書「ベイジアンネットワーク入門」では、以下のような定義をしている。Radon-Nikodymの定理から、A\in {\cal F}, {\cal G}\subseteq {\cal F}として、任意のG\in {\cal G}について、 P(A\cap G)=\int_G f_A(\omega)dP(\omega)となる{\cal G}上可測なf_A:\Omega\rightarrow [0,\infty)が存在する。これを、{\cal G}のもとでの、Aの条件付確率という。ここで、 f_A,g_Aがともにその条件を満足すれば、f_A-g_A{\cal G}上可測であり、G=\{\omega\in \Omega|f_A(\omega)\not=g_A(\omega)\}\in {\cal G}の確率P(G)は0である。

{\cal G}=\{B,\bar{B},\Omega,\{\}\}であれば、高校で勉強したような条件付確率P(A|B),P(A|\bar{B})が定義できる。条件付確率とは、B,\bar{B}などの事象のもとで決まるものではない。\cal Fの部分\sigma集合体(事象の集合)\cal Gに対して定まる写像である。

データマイニングでも、情報理論でも、条件付確率を一般的に正しく理解すれば、見通しのよい議論ができる。高校卒業時から進歩せず、条件付確率として、P(A|B),P(A|\bar{B})のようなものだけを扱っていると、新しいアイデアが出てこないだけではなく、確率の少し難しい論文はお手上げになる。

本日の講義では、第2章グラフィカルモデルの最後2.4, 2.5以外に、2.1の条件付分布関数の説明を行った。ZのもとでのXの条件付分布関数といった場合、一般に一意ではないが、Zの生成する事象について確率1で一致すれば、等価な関数とみなす。条件付独立性についても同様である。


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